Alarmé par l'opération papyrus de Genève, le groupe UDC, représenté par la députée Amaudruz a lancé sa motion «autorisations de séjour accordées aux clandestins. La pratique genevoise doit être suspendue». L'article 30 de la LEtr, qui permet de déroger aux conditions d'admission, notamment dans des cas individuels d'extrême gravité ou de risque d'exploitation dans l'exercice d'une activité lucrative, a selon l'Union du Centre été interprété de manière trop libérale par les autorités genevoises. Elle demande donc la suspension immédiate du projet papyrus et que cette pratique ne soit pas appliquée dans d'autres cantons, au moins jusqu'à ce que le Parlement examine l'initiative parlementaire «la clandestinité n'est pas un cas de rigueur», sur la même thématique.
La conseillère fédérale Sommaruga a défendu le projet papyrus, soulignant qu'il a permis de régulariser près de 500 enfants et a eu pour conséquence une augmentation des inscriptions et donc des cotisations aux assurances sociales. Elle a en outre rappelé que le projet était limité à la fin de l'année 2018 et qu'il était de surcroît impossible pour le Conseil fédéral d'interrompre un projet cantonal. Les députées et députés ont penché de son côté, puisque la motion a été rejetée par tous les partis (125 voix, deux abstentions PLR). Les 62 voix UDC n'ont pas été suffisantes.

En avril 2018, la Commission des Institutions Politiques du Conseil national (CIP-CN) a déposé un postulat pour un examen global de la problématique des sans-papiers. Faisant référence à l'«Opération Papyrus» menée dans le canton de Genève, qui avait permis la régularisation d'un millier de personnes sans-papiers actives sur le marché du travail, la commission souhaite que le Conseil fédéral s'attelle à l'examen de différents points. Il s'agit de faire la lumière sur le droit d'affiliation aux assurances sociales et les conséquences du retrait de ces droits, pour la Confédération, les cantons et les communes ainsi que pour les personnes sans-papiers concernées, sur l'accès à l'école pour les enfants, l'application des normes pénales ainsi que la pratique usuelle de régularisation, notamment le nombre de ces régularisations et les autres solutions envisageables pour les personnes sans permis de séjour.
Le postulat, qui faisait suite à la motion de la CSSS-CN intitulée «Pour une législation cohérente sur les sans-papiers», a été accepté par le Conseil national à l'unanimité lors de la session d'été 2018.