Im Juni 2021 verlangte Gerhard Pfister (mitte, ZG) in einer Motion die Möglichkeit zur Prüfung der Suva durch die EFK. Die Suva müsse aufgrund ihrer wichtigen Rolle für das schweizerische Sozialversicherungssystem – sie versichert die Hälfte aller Arbeitnehmenden, hat selbst mehr als 4'000 Mitarbeitende und verwaltet Bruttoprämieneinnahmen von über CHF 4 Mrd. – von der EFK und vom Parlament beaufsichtigt werden, wie dies etwa auch bei der Compenswiss – der öffentlich-rechtlichen Anstalt des Bundes zur Verwaltung der Ausgleichsfonds von AHV, IV und EO – oder der Publica – der Pensionskasse des Bundes – der Fall sei. Gerade bei der Suva sei aufgrund ihres Monopolcharakters für verschiedene Versicherte eine Prüfung der Wirtschaftlichkeit wichtig, wie sie die EFK jeweils durchführe – bisher erfolge eine solche bei der Suva jedoch noch nicht. Der Bundesrat zeigte sich bereit, die Motion anzunehmen, und der Nationalrat folgte ihm in der Herbstsession 2021 stillschweigend.